Ο Αργύρης Γιαννίκης γεννήθηκε στη Νυρεμβέργη της Γερμανίας στις 9 Ιουλίου 1980 και η ενασχόληση του με το ποδόσφαιρο ξεκινάει στην Καρλσρούη το 2007 που ήταν βοηθός προπονητή στην Κ-19. Πέρασε απ' όλες τις θέσεις των ακαδημιών της Καρλσρούη φτάνοντας από το 2010 μέχρι το 2016, στην θέση του βοηθού προπονητή. Το 2016 αποφοίτησε από την Hennes-Weisweiler-Akademie.
Τον Ιούλιο του 2016 μετακομίζει στην Ίνγκολσταντ, ομάδα δεύτερης κατηγορίας και γίνεται επίσης βοηθός προπονητή, ενώ το 2017 αναλαμβάνει πρώτος προπονητής στην Έσεν, ομάδα 4ης κατηγορίας Γερμανίας όπου σε 16 αγώνες είχε 9 νίκες, 3 ισοπαλίες και 4 ήττες.
Το καλοκαίρι του 2017 ανέλαβε την Άαλεν, ομάδα επίσης 4ης Εθνικής Γερμανίας. Στους 25 αγώνες που έμεινε εκεί μέχρι την απόλυση του τον Φεβρουάριο του 2019 είχε 5 νίκες, 8 ισοπαλίες και 12 ήττες.
Το καλοκαίρι του 2019 ήρθε στην Ελλάδα για λογαριασμό του ΠΑΣ Γιάννινα που έπαιζε στην Football League. Ανέβασε την ομάδα των Ιωαννίνων και πάλι στην Super League κάνοντας 15 νίκες, 4 ισοπαλίες και 1 ήττα. Το 2020-2021 συνέχισε στον ΠΑΣ Γιάννινα και τελείωσε τη σεζόν στην όγδοη θέση με 9 νίκες 8 ισοπαλίες και 16 ήττες σε 33 αγώνες πρωταθλήματος. H καλή πορεία όμως που έκανε στο κύπελλο ο ΠΑΣ Γιάννινα, όπου έφτασε στα ημιτελικά του θεσμού, έστρεψε τα μάτια της διοίκησης της ΑΕΚ στον Αργύρη Γιαννίκη. Στις 19 Μαϊου 2021 η συνεργασία ΠΑΣ Γιάννινα και Αργύρη Γιαννίκη ολοκληρώθηκε.
Στις 10 Οκτωβρίου 2021 η ΠΑΕ ΑΕΚ ανακοίνωσε την πρόσληψη του Αργύρη Γιαννίκη, όπου έμεινε στο πάγκο σε 23 ματς και είχε απολογισμό 11 νίκες, 4 ισοπαλίες και 8 ήττες και την 1η Μαρτίου 2022 η «κιτρινόμαυρη» ΠΑΕ ανακοίνωσε την ολοκλήρωση της συνεργασίας της μαζί του.
Τον Ιανουάριο του 2024, ο Αργύρης Γιαννίκης επέστρεψε στους πάγκους για λογαριασμό της Μόναχο 1860 στην τρίτη κατηγορία του Γερμανικού πρωταθλήματος. Ο 44χρονος Ελληνογερμανός τεχνικός καθοδήγησε τη Μόναχο 1860 σε 43 παιχνίδια, σημειώνοντας 17 νίκες, 8 ισοπαλίες και 18 ήττες και στις 20 Ιανουαρίου του 2025 αποχώρησε από το γερμανικό σύλλογο.
Τέλος ενδιαφέρον παρουσιάζει ότι κατά καιρούς ο Αργύρης Γιαννίκης έγινε στόχος ελληνικών ομάδων με τελευταία το ενδιαφέρον του Αστέρα Τρίπολης τον Οκτώβριο του 2024 μετά την αποχώρηση του Κλοντ Μακελελέ.
